Para la expresión a·x + b, halla la derivada parcial respecto de a y la derivada parcial respecto de b.

Step-by-step solution

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   Decide qué símbolos quedan congelados. Una derivada parcial deriva respecto de una variable tratando todos los demás símbolos como constantes. Aquí la expresión contiene tres símbolos, $a$, $b$ y $x$, así que cuál de ellos es «la variable» cambia de un apartado a otro — y $x$ es una constante en los dos apartados de esta pregunta.

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   Deriva respecto de $a$. Tratando $x$ y $b$ como constantes, el término $ax$ es un múltiplo constante de $a$ y $b$ es una constante pura:

   $\frac{\partial}{\partial a}(ax)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial a}(b)=0,$

   $\frac{\partial f}{\partial a}=x.$

   La respuesta es $x$, no $1$ ni $ax$: derivar $ax$ respecto de $a$ deja el coeficiente de $a$, que es $x$.

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   Deriva respecto de $b$. Ahora $a$ y $x$ quedan congelados, así que todo el producto $ax$ es una constante:

   $\frac{\partial}{\partial b}(ax)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial b}(b)=1,$

   $\frac{\partial f}{\partial b}=1.$

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   Contrasta con la derivada en $x$. Para completar el cuadro, $\frac{\partial f}{\partial x}=a$ — la misma expresión entrega tres respuestas distintas según cuál sea el símbolo que hace de variable. Comparar las tres es la vía más rápida para interiorizar qué hace realmente eso de «mantener las demás constantes».

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   Interpreta el resultado. En un modelo de recta $y=ax+b$ ajustado a datos, estas dos parciales son justamente las componentes del gradiente que usan los mínimos cuadrados: cambiar un poco la pendiente $a$ mueve la predicción en $x$ veces esa cantidad, mientras que cambiar la intersección $b$ mueve todas las predicciones lo mismo, $1$ a $1$. Por eso los datos alejados del origen dominan la estimación de la pendiente.