Sea f la función definida en (0, infinito) por f(x) = (3 + √x) / (4√x). Hallar el límite de f(x) y el límite de f(f(x)) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Separar la fracción en vez de pelear con la indeterminación. Tal como está escrita, $f(x)$ es una forma $\frac{\infty}{\infty}$. Dividir cada término del numerador entre el denominador elimina la ambigüedad de raíz:

   $f(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{4}$

   Esta reescritura es legítima para todo $x>0$, donde $\sqrt{x}\neq 0$.

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   Leer directamente el primer límite. Cuando $x\to+\infty$ se tiene $\sqrt{x}\to+\infty$, luego $\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\to 0$ y

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   La recta $y=\tfrac14$ es una asíntota horizontal de la gráfica, a la que la curva se acerca por arriba, ya que $\tfrac{3}{4\sqrt{x}}>0$ siempre.

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   No sustituir $+\infty$ en la función exterior. En $f(f(x))$ el valor interior no tiende a infinito: tiende a $\tfrac14$. La herramienta correcta es la regla del límite de la composición: si $f(x)\to L$ cuando $x\to+\infty$ y $f$ es continua en $L$, entonces

   $\lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=f(L)$

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   Comprobar que la regla se puede aplicar. Aquí $L=\tfrac14$, que está dentro del dominio $\left]0,+\infty\right[$, y $f$ es continua allí (está construida a partir de $\sqrt{x}$ y de un cociente cuyo denominador $4\sqrt{x}$ nunca se anula en ese intervalo). Además $f(x)>\tfrac14>0$ para todo $x>0$, de modo que los valores interiores permanecen realmente dentro del dominio de la $f$ exterior: la composición está bien definida cerca del infinito.

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   Evaluar la función exterior en $L=\tfrac14$. Como $\sqrt{1/4}=\tfrac12$:

   $f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3+\frac{1}{2}}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}$

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{4},\qquad \lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{7}{4}}$

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   Confirmar numéricamente. En $x=10^4$: $f(x)=0.2575$ y $f(f(x))=1.72799$. En $x=10^8$: $f(x)=0.250075$ y $f(f(x))=1.749775$. Los valores se acercan a $\tfrac14=0.25$ y a $\tfrac74=1.75$, exactamente como predice el argumento de continuidad.