Resuelve la ecuación diferencial dy/dx + 2y = e^(3x).

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma la forma lineal estándar de primer orden. Con $y'+P(x)y=Q(x)$ se lee

   $P(x)=2,\qquad Q(x)=e^{3x}$

   Solo $Q$ cambia respecto de la versión con $e^{-x}$ de este mismo problema, así que la maquinaria es idéntica y únicamente varía la integral final.

2. 2

   Calcula el factor integrante a partir de $P$ únicamente. Como $\mu$ depende solo de $P$, el término forzante $e^{3x}$ no interviene aquí:

   $\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$

3. 3

   Multiplica toda la ecuación para que el miembro izquierdo sea una sola derivada.

   $e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{2x}e^{3x}=e^{5x}$

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=e^{5x}$

   Fíjate en que los exponentes se suman: por eso el miembro derecho es $e^{5x}$ y no $e^{3x}$.

4. 4

   Integra usando $\int e^{kx}dx=e^{kx}/k$. Aquí $k=5$, así que el $1/5$ que aparece en la respuesta final nace en este paso:

   $e^{2x}y=\frac{1}{5}e^{5x}+C$

5. 5

   Divide entre $e^{2x}$ y simplifica los exponentes.

   $y=\frac{1}{5}e^{5x-2x}+Ce^{-2x}=\frac{1}{5}e^{3x}+Ce^{-2x}$

6. 6

   Comprueba por sustitución directa. A partir de $y=\tfrac15 e^{3x}+Ce^{-2x}$ se tiene $y'=\tfrac35 e^{3x}-2Ce^{-2x}$, de modo que

   $y'+2y=\left(\tfrac35+\tfrac25\right)e^{3x}+(-2C+2C)e^{-2x}=e^{3x}$

   La comprobación de coeficientes $\tfrac35+\tfrac25=1$ es la parte que vale la pena hacer a mano: un $1/5$ equivocado saltaría a la vista de inmediato.