Calcula el límite cuando x tiende a más infinito de sh x dividido entre la raíz cuadrada de ch 2x.

Step-by-step solution

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   Traducir la notación y observar la forma. $\operatorname{sh}x=\sinh x = \tfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ y $\operatorname{ch}(2x)=\cosh 2x = \tfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$. Ambas se disparan cuando $x\to\infty$, así que el cociente es $\tfrac{\infty}{\infty}$: indeterminado mientras no se comparen las velocidades de crecimiento.

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   Sacar del numerador la exponencial dominante. $\sinh x = \frac{e^x}{2}\left(1-e^{-2x}\right).$ Así se aísla el crecimiento ($e^x$) de un paréntesis que tiende a $1$.

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   Hacer lo mismo bajo el radical. $\cosh 2x = \frac{e^{2x}}{2}\left(1+e^{-4x}\right) \Longrightarrow \sqrt{\cosh 2x} = \frac{e^{x}}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}.$ La raíz cuadrada divide el exponente entre dos, así que el denominador también crece como $e^x$: las dos velocidades coinciden, y por eso el límite es finito y distinto de cero.

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   Cancelar el factor común. $\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}} = \frac{\frac{e^x}{2}(1-e^{-2x})}{\frac{e^x}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-4x}}}.$

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   Tomar el límite del factor que queda. Cuando $x\to+\infty$, $e^{-2x}\to0$ y $e^{-4x}\to0$, de modo que la fracción tiende a $\tfrac{1}{1}=1$ y $\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}x}{\sqrt{\operatorname{ch}2x}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.70711.$

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   Verificar por la vía de la identidad y con un número. Como $\cosh 2x = 1+2\sinh^2 x$, el cociente es igual a $\sinh x/\sqrt{1+2\sinh^2x} \to 1/\sqrt2$ cuando $\sinh x\to\infty$: la misma respuesta. En $x=30$ el valor directo es $0.7071067812$.