Una partícula se mueve sobre una recta con velocidad v(t) = t² + t metros por segundo. Halla su desplazamiento durante el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 2 segundos.

Step-by-step solution

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   Relaciona el desplazamiento con la velocidad. El desplazamiento en $[a,b]$ es la integral definida $\int_a^b v(t)\,dt$; es el cambio neto de posición, lo inverso del hecho de que $v=\frac{ds}{dt}$.

2. 2

   Revisa el signo de la velocidad. En $[1,2]$ tanto $t^2$ como $t$ son positivos, así que $v(t)>0$ en todo el intervalo. La partícula nunca invierte el sentido del movimiento, lo que significa que aquí el desplazamiento y la distancia total recorrida coinciden.

3. 3

   Escribe la integral. Desplazamiento $=\displaystyle\int_1^2\left(t^2+t\right)dt$.

4. 4

   Halla una primitiva. $\int\left(t^2+t\right)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}$.

5. 5

   Evalúa en los extremos. En $t=2$: $\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$. En $t=1$: $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$. Restando, $\frac{28}{6}-\frac{5}{6}=\frac{23}{6}$.

6. 6

   Da el resultado con unidades. El desplazamiento es $\frac{23}{6}\approx 3.833$ metros, valor que la cuadratura numérica de $t^2+t$ en $[1,2]$ reproduce como $3.8333$.