Calcula la integral indefinida de x² − 13·x^(2/4) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Reducir el exponente a su mínima expresión. $\tfrac{2}{4} = \tfrac12$, así que $x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$, y el integrando es

   $x^2 - 13\sqrt{x}$

   Dejar el exponente sin reducir no sería incorrecto, pero vuelve innecesariamente engorrosa la aritmética de $n+1$ del paso siguiente.

2. 2

   Separar la integral por linealidad.

   $\int \left(x^2 - 13x^{1/2}\right)dx = \int x^2\,dx - 13\int x^{1/2}\,dx$

3. 3

   Aplicar la regla de la potencia a cada término. Con $\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (válida porque ninguno de los exponentes es $-1$):

   $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

4. 4

   Multiplicar por el coeficiente.

   $-13 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -\frac{26}{3}x^{3/2}$

5. 5

   Reunir la respuesta.

   $\int \left(x^2 - 13\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{26}{3}x^{3/2} + C$

6. 6

   Derivar para comprobar. $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^3}{3}\right) = x^2$ y $\tfrac{d}{dx}\left(-\tfrac{26}{3}x^{3/2}\right) = -\tfrac{26}{3}\cdot\tfrac32 x^{1/2} = -13\sqrt{x}$. La derivada devuelve exactamente el integrando. Atención al dominio: $\sqrt{x}$ exige $x \ge 0$.