Halla la integral indefinida de (x − 1)/(x² − 2x + 3)² respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Mirar la derivada de la base del denominador. Antes de recurrir a las fracciones parciales, conviene derivar lo que está elevado al cuadrado:

   $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)=2x-2=2(x-1)$

   El numerador $x-1$ es exactamente la mitad de eso. Siempre que el numerador es un múltiplo constante de la derivada interior, la sustitución termina la integral en una línea: sin completar el cuadrado y sin arcotangente.

2. 2

   Sustituir. Sea

   $u=x^2-2x+3,\qquad du=2(x-1)\,dx\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,dx=\tfrac12\,du$

   Se reemplaza de golpe todo el bloque $(x-1)\,dx$, y por eso no sobrevive ninguna $x$.

3. 3

   Reescribir la integral en $u$.

   $\int\frac{x-1}{(x^2-2x+3)^2}\,dx=\frac12\int \frac{du}{u^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du$

4. 4

   Integrar la potencia. Con la regla de la potencia $\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$ para $n=-2$:

   $\frac12\int u^{-2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}$

5. 5

   Deshacer la sustitución y añadir la constante.

   $\int \frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^2-2x+3\right)}+C$

   El denominador $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ nunca se anula, así que esta primitiva es válida en todo $\mathbb{R}$.

6. 6

   Derivar para confirmar. Con $F(x)=-\tfrac12 u^{-1}$,

   $F'(x)=\tfrac12 u^{-2}u'=\frac{2x-2}{2\left(x^2-2x+3\right)^2}=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\;\checkmark$

   Una comprobación numérica en $x=2.5$ da $F'(2.5)=0.08304498$, que coincide exactamente con el integrando.