Calcular la integral doble de 9y + 4x sobre la región limitada por las parábolas y = 4x² − 9 e y = 9 − 4x².

Step-by-step solution

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   Hallar dónde se cortan las dos parábolas. Al igualar $4x^2-9 = 9-4x^2$ se obtiene $8x^2 = 18$, es decir $x = \pm\tfrac{3}{2}$. Por tanto la región abarca $-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{3}{2}$.

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   Escribir la integral iterada. Para cada $x$, el corte vertical va de la parábola inferior a la superior:

   $\int_{-3/2}^{3/2}\int_{4x^2-9}^{9-4x^2}(9y+4x)\,dy\,dx$

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   Aprovechar la simetría en lugar de calcular a la fuerza. $D$ es simétrica respecto de ambos ejes: el cambio $x \to -x$ transforma la región en sí misma, y lo mismo ocurre con $y \to -y$ (las dos curvas frontera se intercambian).

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   Aplicar la simetría a cada término. $9y$ es impar en $y$ sobre una región simétrica en $y$, así que su integral vale $0$. $4x$ es impar en $x$ sobre una región simétrica en $x$, de modo que también integra $0$.

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   Concluir. Los dos términos se anulan, así que la integral vale $0$ — no hace falta ninguna primitiva. Comprobar la simetría antes de integrar merece la pena siempre que la región esté definida por funciones pares.