Evalúa la integral doble de x cos(x + y) sobre la región triangular con vértices (0, 0), (π, 0) y (π, π).

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte los tres vértices en ecuaciones de la frontera. El lado que va de $(0,0)$ a $(\pi,0)$ está sobre $y=0$; el lado de $(\pi,0)$ a $(\pi,\pi)$ es la recta vertical $x=\pi$; el lado de $(0,0)$ a $(\pi,\pi)$ es la recta $y=x$. Así que el triángulo es el conjunto de puntos con $0\le x\le\pi$ y $0\le y\le x$.

2. 2

   Elige el orden $dy\,dx$. Integrar primero en $y$ mantiene constantes los límites de $x$ (de $0$ a $\pi$) y deja como límites de $y$ las dos funciones simples $0$ y $x$. También ayuda que $x$ sea una constante durante la integración interior, así que el factor $x$ sale afuera:

   $\int_0^\pi\!\!\int_0^x x\cos(x+y)\,dy\,dx.$

3. 3

   Haz la integral interior. Con $x$ fijo, $\int\cos(x+y)\,dy=\sin(x+y)$:

   $x\Big[\sin(x+y)\Big]_{y=0}^{y=x}=x\big(\sin 2x-\sin x\big).$

4. 4

   Resuelve $\int_0^\pi x\sin 2x\,dx$ por partes. Toma $u=x$, $dv=\sin 2x\,dx$, de modo que $du=dx$ y $v=-\tfrac{\cos 2x}{2}$:

   $\left[-\frac{x\cos 2x}{2}\right]_0^\pi+\frac12\int_0^\pi\cos 2x\,dx=-\frac{\pi}{2}+\left[\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^\pi=-\frac{\pi}{2}.$

5. 5

   Resuelve $\int_0^\pi x\sin x\,dx$ del mismo modo. Con $u=x$, $v=-\cos x$:

   $\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi.$

6. 6

   Combina las dos piezas. La integral exterior es la diferencia de los resultados:

   $\iint_R x\cos(x+y)\,dA=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712.$

   La respuesta es negativa, y era de esperar: en casi todo este triángulo $x+y$ está entre $\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{3\pi}{2}$, donde $\cos(x+y)$ es negativo, y el peso $x$ es máximo justo ahí. La integración numérica devuelve $-4.71239$, que coincide con $-\tfrac{3\pi}{2}$.