Halla la integral de cos x · sen(5 sen x + 2) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar una función interior cuya derivada ya esté presente. La pieza compuesta es $\sin\left(5\sin x+2\right)$, cuya función interior es $5\sin x+2$. Su derivada es $5\cos x$, y hay un $\cos x$ esperando fuera de la composición: exactamente el patrón para el que está pensada la sustitución.

2. 2

   Hacer la sustitución. Sea

   $u=5\sin x+2\quad\Longrightarrow\quad du=5\cos x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \cos x\,dx=\frac{1}{5}\,du$

   Despejar $\cos x\,dx$ (y no solo $dx$) es lo que hace desaparecer toda $x$.

3. 3

   Reescribir la integral por completo en u.

   $\int \sin(u)\cdot\frac15\,du=\frac15\int\sin u\,du$

4. 4

   Integrar.

   $\frac15\int\sin u\,du=\frac15(-\cos u)+C=-\frac{\cos u}{5}+C$

5. 5

   Deshacer la sustitución.

   $\boxed{-\frac{1}{5}\cos\left(5\sin x+2\right)+C}$

6. 6

   Comprobar derivando. Por la regla de la cadena,

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac15\cos\left(5\sin x+2\right)\right]=-\frac15\cdot\left(-\sin\left(5\sin x+2\right)\right)\cdot 5\cos x=\cos x\,\sin\left(5\sin x+2\right)$

   que es el integrando original ✓. Nótese que los dos factores $5$ se cancelan: un buen recordatorio de que el $\tfrac15$ de la respuesta no es opcional.