Una taza de café recién servido está a 90 °C y se deja en una habitación a 20 °C. A los 10 minutos el café se ha enfriado hasta 65 °C. Hallar la temperatura a los 20 minutos y cuánto tarda en llegar a 30 °C.

Step-by-step solution

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   Se plantea la ecuación diferencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que la velocidad de enfriamiento es proporcional a cuánto supera el cuerpo la temperatura del ambiente, y no a su propia temperatura:

   $\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_a),\qquad T_a=20^\circ\text{C}$

   Separando variables e integrando se llega a la solución estándar

   $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}=20+70e^{-kt}$

   ya que $T_0-T_a=90-20=70$.

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   Se usa la lectura de los 10 minutos para hallar $k$. Es la única incógnita del modelo, y un solo dato la determina:

   $65=20+70e^{-10k}\;\Longrightarrow\;e^{-10k}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}$

   $k=-\frac{1}{10}\ln\frac{9}{14}=\frac{1}{10}\ln\frac{14}{9}\approx0.04418\ \text{min}^{-1}$

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   Se obtiene la temperatura a los 20 minutos sin usar nunca el valor decimal de $k$. Como $20=2\times10$, la exponencial simplemente se eleva al cuadrado:

   $e^{-20k}=\left(e^{-10k}\right)^{2}=\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$

   $T(20)=20+70\cdot\frac{81}{196}=20+\frac{405}{14}=20+28.93=48.93^\circ\text{C}$

   Mantener la fracción exacta evita el arrastre de redondeo que aparece al calcular $70e^{-0.0442\times20}$.

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   Se despeja el tiempo necesario para llegar a $30^\circ\text{C}$. Se impone $T(t)=30$:

   $30=20+70e^{-kt}\;\Longrightarrow\;e^{-kt}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\;\Longrightarrow\;kt=\ln 7$

   $t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln(14/9)}=\frac{19.459}{0.44183}\approx44.0\ \text{minutos}$

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   Se contrastan las dos respuestas entre sí. El café pierde $25^\circ$ en los primeros 10 minutos, pero solo unos $16^\circ$ en los diez siguientes ($65\to48.9$): esas pérdidas decrecientes son exactamente lo que predice una aproximación exponencial a la temperatura ambiente. Y $30^\circ\text{C}$ está solo $10^\circ$ por encima de la habitación, así que llegar ahí debe costar una larga cola de tiempo; $44$ minutos es coherente. El café nunca alcanza realmente los $20^\circ\text{C}$ en tiempo finito, porque $e^{-kt}>0$ para todo $t$.