Calcula la integral doble sobre el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 del máximo entre √(2x − x²) y 1 − y.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el radical como una circunferencia. Completa el cuadrado: $2x-x^2=1-(x-1)^2$, así que $\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{1-(x-1)^2}$ es la semicircunferencia unitaria superior centrada en $(1,0)$. En $0\le x\le 1$ crece de $0$ a $1$.

2. 2

   Sustituye para centrar la figura. Sea $u=1-x$ y $v=1-y$. El jacobiano tiene valor absoluto $1$ y el cuadrado se transforma en sí mismo, así que la integral queda $\iint_{[0,1]^2}\max\left\{\sqrt{1-u^2},\,v\right\}du\,dv$.

3. 3

   Parte el cuadrado a lo largo del cuarto de circunferencia. Los dos candidatos son iguales cuando $v=\sqrt{1-u^2}$, el cuarto de circunferencia. Por debajo gana el radical; por encima gana $v$. Partir ahí es lo que elimina el máximo.

4. 4

   Integra el trozo inferior. Para cada $u$, la variable $v$ recorre de $0$ a $\sqrt{1-u^2}$ y el integrando es la constante $\sqrt{1-u^2}$, con lo que aporta $\int_0^1\left(1-u^2\right)du=1-\frac13=\frac23$.

5. 5

   Integra el trozo superior. Para cada $u$, la variable $v$ recorre de $\sqrt{1-u^2}$ a $1$ con integrando $v$, lo que da $\int_0^1\frac{1-\left(1-u^2\right)}{2}du=\int_0^1\frac{u^2}{2}du=\frac16$.

6. 6

   Suma y verifica. El total es $\frac23+\frac16=\frac56$. Una malla de puntos medios de $4000\times4000$ celdas aplicada al integrando original devuelve $0.83333333$, que coincide con $\frac56$.