Resuelve la ecuación diferencial (eʸ + 6x) dx + x eʸ dy = 0.

Step-by-step solution

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   Nombra las dos funciones coeficiente y aplica el test de exactitud. Con

   $M(x,y)=e^y+6x,\qquad N(x,y)=xe^y$

   la ecuación es exacta si $\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}$. Aquí

   $\frac{\partial M}{\partial y}=e^y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=e^y$

   Coinciden, así que existe una función potencial $F(x,y)$ con $F_x=M$ y $F_y=N$, y no hace falta ningún factor integrante.

2. 2

   Integra $M$ respecto de $x$ para empezar a construir $F$. Tratando $y$ como constante,

   $F(x,y)=\int\left(e^y+6x\right)dx=xe^y+3x^2+g(y)$

   La «constante» de integración es una función de $y$ desconocida, ya que todo lo que depende solo de $y$ se anula al aplicar $\partial/\partial x$.

3. 3

   Deriva la candidata respecto de $y$ e iguala a $N$.

   $\frac{\partial F}{\partial y}=xe^y+g'(y)\stackrel{!}{=}N=xe^y$

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   Despeja la función desconocida. Al cancelar $xe^y$ en ambos miembros queda

   $g'(y)=0\quad\Rightarrow\quad g(y)=\text{constante}$

   Que la dependencia en $y$ se cancele por completo es la condición de exactitud dando sus frutos; si hubiera quedado un término que dependiera solo de $y$, bastaría con integrarlo aquí.

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   Escribe la solución general en forma implícita. Las ecuaciones exactas tienen soluciones de la forma $F(x,y)=C$:

   $xe^y+3x^2=C$

   La constante arbitraria absorbe la constante de $g$.

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   Verifica derivando la respuesta. Tomando $d$ en ambos miembros de $xe^y+3x^2=C$:

   $\left(e^y+6x\right)dx+xe^y\,dy=0$

   que es exactamente la ecuación original ✓. (Al despejar explícitamente se obtiene $y=\ln\frac{C-3x^2}{x}$ allí donde ese argumento es positivo.)