Halla la primitiva de f(x) = cos² x y también su derivada.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye el cuadrado usando la identidad de reducción de potencias. Los cuadrados de seno y coseno no se pueden integrar directamente con la regla de la potencia, pero se linealizan:

   $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

   Esto sale de despejar $\cos 2x=2\cos^2x-1$, y es el primer movimiento estándar para $\int\cos^2$ o $\int\sin^2$.

2. 2

   Separa la integral resultante.

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx$

3. 3

   Integra cada trozo. El segundo necesita el factor $\tfrac1k$ por el $2x$ interior:

   $\frac{1}{2}\int 1\,dx=\frac{x}{2},\qquad\frac{1}{2}\int\cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 2x}{2}=\frac{\sin 2x}{4}$

   $\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$

4. 4

   Deriva también $f$, con la regla de la cadena. Escribiendo $f(x)=(\cos x)^2$:

   $f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

   donde el último paso usa la identidad del ángulo doble $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

5. 5

   Comprueba la primitiva derivándola de nuevo.

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1+\cos 2x}{2}=\cos^2 x\qquad\checkmark$

   Numéricamente en $x=0.9$: la derivada de la primitiva vale $0.386399$ y $\cos^2(0.9)=0.386399$ $\checkmark$. El término $\tfrac{x}{2}$ también concuerda con el valor medio conocido de $\cos^2$ en un periodo, que es $\tfrac12$.