Halla dy/dx para y = x²/tan x.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica las piezas de la regla del cociente. Escribe $y=\frac{u}{v}$ con $u=x^2$ y $v=\tan x$. La regla del cociente dice que $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$; el orden de los dos productos importa, así que conserva $u'v$ en primer lugar.

2. 2

   Deriva el numerador. Por la regla de la potencia, $u'=2x$.

3. 3

   Deriva el denominador. La derivada estándar de la tangente es $v'=\sec^2 x$, que a su vez se sigue de $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ y una aplicación de la regla del cociente.

4. 4

   Monta la regla. Al sustituir se obtiene $\frac{dy}{dx}=\frac{2x\tan x-x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$.

5. 5

   Simplifica con seno y coseno. Reemplazar $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ y $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ y deshacer la fracción compuesta convierte el resultado en $\frac{2x\sin x\cos x-x^2}{\sin^2 x}$, que es más fácil de evaluar numéricamente.

6. 6

   Fíjate en el dominio. La fórmula vale donde $\tan x$ está definida y no es cero, es decir, $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ y $x\neq k\pi$.