Halla la integral indefinida de 2/x − 1/x² respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Separar la integral usando la linealidad. La integración se distribuye sobre una diferencia, y las constantes salen fuera:

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}$

   El dominio es $x\neq0$, y la primitiva es válida por separado en $(-\infty,0)$ y en $(0,\infty)$.

2. 2

   Tratar el primer término: la excepción de la regla de la potencia. Escribiendo $\tfrac1x=x^{-1}$, la fórmula habitual $\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ dividiría entre $n+1=0$. Por eso $n=-1$ es la única excepción:

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   El valor absoluto la mantiene válida también para $x$ negativo. Así que el primer término aporta $2\ln|x|$.

3. 3

   Tratar el segundo término con la regla de la potencia ordinaria. Aquí $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ y $n=-2$, de modo que $n+1=-1\neq0$ y se aplica la regla estándar:

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

4. 4

   Aplicar el signo menos que precede a la segunda integral. El integrando tiene $-\tfrac{1}{x^2}$, así que

   $-\int x^{-2}dx=-\left(-\frac1x\right)=+\frac1x$

   El doble negativo que se convierte en un más es el paso que más se pierde.

5. 5

   Reunir todo en una sola primitiva.

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\ln|x|+\frac1x+C$

   Obsérvese cómo dos términos superficialmente parecidos producen tipos de función completamente distintos: un logaritmo y un término racional.

6. 6

   Verificar derivando. $\dfrac{d}{dx}\left[2\ln|x|+\tfrac1x\right]=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ ✓. Numéricamente, los cocientes en diferencias simétricas en $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ coinciden con el integrando hasta cinco cifras ✓, incluido un $x$ negativo, donde el valor absoluto importa.