Calcula la integral triple de −2y dz dy dx donde x va de −3 a 3, y va de 0 a la raíz cuadrada de 9 menos x al cuadrado, y z va de 0 a 9 menos x al cuadrado menos y al cuadrado. Da una respuesta exacta.

Step-by-step solution

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   Lee los límites como una figura antes de integrar. Los límites en $x$ e $y$ describen $x^2+y^2\le 9$ con $y\ge 0$, es decir la mitad superior del disco de radio $3$, y $z$ va desde el plano $z=0$ hasta el paraboloide $z=9-x^2-y^2$. Reconocer el semidisco es lo que hace posible la comprobación cilíndrica del último paso.

2. 2

   Integra primero en $z$, porque el integrando no contiene $z$. La integral interior es simplemente el integrando por la altura del sólido:

   $\int_{0}^{9-x^2-y^2}(-2y)\,dz=-2y\,(9-x^2-y^2)$

3. 3

   Integra en $y$ y observa cómo se funden los dos términos. Al desarrollar queda $-2y(9-x^2)+2y^3$, así que, con $R^2=9-x^2$:

   $\Bigl[-(9-x^2)y^2+\tfrac12 y^4\Bigr]_{0}^{\sqrt{9-x^2}}=-(9-x^2)^2+\tfrac12(9-x^2)^2=-\tfrac12(9-x^2)^2$

   El límite superior elevado al cuadrado da exactamente $9-x^2$, y por eso las dos potencias de $R$ se combinan de forma tan limpia.

4. 4

   Integra en $x$ aprovechando que el integrando es par. Como $(9-x^2)^2=81-18x^2+x^4$ es par,

   $-\frac12\int_{-3}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx=-\int_{0}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx$
   $=-\Bigl[81x-6x^3+\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_0^3=-\left(243-162+\frac{243}{5}\right)=-\frac{648}{5}$

5. 5

   Confirma el valor en coordenadas cilíndricas. Con $y=r\sin\theta$ y $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$, el mismo sólido es $0\le r\le 3$, $0\le\theta\le\pi$, $0\le z\le 9-r^2$:

   $\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{3}(-2r\sin\theta)(9-r^2)\,r\,dr\,d\theta=-2\left(\int_0^{\pi}\!\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^{3}\!r^2(9-r^2)\,dr\right)$

   Los dos factores valen $2$ y $81-\tfrac{243}{5}=\tfrac{162}{5}$, lo que da $-2\cdot 2\cdot\tfrac{162}{5}=-\tfrac{648}{5}$: el mismo valor exacto por un camino completamente distinto.

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   Interpreta el signo. Todo el sólido está en $y\ge 0$ y allí el integrando $-2y$ es $\le 0$, así que una respuesta negativa es lo esperable; un resultado positivo delataría de inmediato un desliz de signo.