Halla la integral indefinida de 2^x por (2^x + 4)^5 respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar una función interior cuya derivada ya esté fuera. El paréntesis $2^x+4$ está elevado a una potencia, y su derivada es

   $\frac{d}{dx}\left(2^{x}+4\right)=2^{x}\ln 2,$

   que es el factor exterior $2^x$ salvo la constante $\ln 2$. Esa es la firma de un problema de sustitución.

2. 2

   Sustituir. Sea

   $u=2^{x}+4\quad\Longrightarrow\quad du=2^{x}\ln 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}\,dx=\frac{du}{\ln 2}.$

   Aquí la base es $2$, no $e$, así que hay que arrastrar el $\ln 2$: omitirlo es con diferencia el error más frecuente en esta integral.

3. 3

   Reescribir la integral por completo en u.

   $\int 2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5}dx=\int u^{5}\,\frac{du}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\int u^{5}\,du.$

4. 4

   Aplicar la regla de la potencia y deshacer la sustitución.

   $\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}+C.$

5. 5

   Derivar para confirmar. Por la regla de la cadena,

   $\frac{d}{dx}\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}=\frac{6\left(2^{x}+4\right)^{5}\cdot 2^{x}\ln 2}{6\ln 2}=2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5},$

   que es el integrando original, así que la primitiva es correcta.