Calcula la integral de 0 a infinito de arctan(x) dividido entre cosh(x), respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma que la integral converge antes de trabajar con ella. Cuando $x\to\infty$, $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$ mientras que $\operatorname{sech}x\sim 2e^{-x}$, así que el integrando decae exponencialmente. Cerca de $0$ se comporta como $x$. Por lo tanto la integral es finita, y está acotada superiormente por $\tfrac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\operatorname{sech}x\,dx=\tfrac{\pi^2}{4}\approx2.467$.

2. 2

   Desarrolla $1/\cosh x$ como serie exponencial alternada. Para $x>0$,

   $\frac{1}{\cosh x}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-(2n+1)x}$

   Esto funciona porque $e^{-2x}<1$ en todo el rango, así que la serie geométrica converge en todo el dominio de integración.

3. 3

   Integra término a término. Intercambiando la suma y la integral se obtiene

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^{\infty}e^{-(2n+1)x}\arctan x\,dx$

4. 4

   Reduce por partes cada pieza de tipo Laplace. Con $u=\arctan x$ y $dv=e^{-ax}dx$ el término de frontera se anula en ambos extremos, y queda

   $\int_0^{\infty}e^{-ax}\arctan x\,dx=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\,dx$

   de modo que

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(2n+1)x}}{1+x^{2}}\,dx$

5. 5

   Acepta que no hay forma cerrada elemental. La integral interior es una combinación auxiliar de las integrales seno y coseno, no una función elemental, así que la serie anterior es la respuesta exacta honesta. El valor decimal hay que producirlo numéricamente.

6. 6

   Evalúa numéricamente por dos vías independientes. La cuadratura de Gauss-Legendre sobre $[0,80]$ repartida en siete tramos da

   $I\approx 1.0986875$

   Sumar la serie anterior hasta $400$ términos da $1.0986859$, coincidiendo en seis cifras ✓. Ambos quedan holgadamente por debajo de la cota $\pi^2/4=2.467$ del paso 1. (Observa que $I$ está cerca de $\ln 3=1.0986123$, pero no es igual a ese valor.)