Calcula la integral triple de 4x²·z³·y con x de 2 a 3, y de 1 a 2 y z de 0 a 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Observa que el integrando se separa. $4x^2z^3y$ es un producto $\left(4x^2\right)\cdot(y)\cdot\left(z^3\right)$ con un factor por variable, y la caja tiene límites constantes en todas las variables. Bajo esas dos condiciones la integral triple se factoriza en un producto de tres integrales simples.

2. 2

   Integra en $x$ de 2 a 3. $\displaystyle\int_2^3 4x^2\,dx=\left[\frac{4x^3}{3}\right]_2^3=\frac{4(27-8)}{3}=\frac{76}{3}$.

3. 3

   Integra en $y$ de 1 a 2. $\displaystyle\int_1^2 y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2=\frac{4-1}{2}=\frac32$.

4. 4

   Integra en $z$ de 0 a 1. $\displaystyle\int_0^1 z^3\,dz=\left[\frac{z^4}{4}\right]_0^1=\frac14$.

5. 5

   Multiplica los tres resultados. $\frac{76}{3}\cdot\frac32\cdot\frac14=\frac{76}{8}=\frac{19}{2}=9.5$.

6. 6

   Verifica numéricamente. Una evaluación anidada por Simpson compuesto de la misma integral iterada devuelve $9.4999999\ldots$, que coincide con el valor exacto $\tfrac{19}{2}$ hasta siete cifras.