Calcula la integral impropia de x·e^(−x²) dx desde x = 0 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe la integral impropia como un límite. Un límite superior infinito se define mediante un límite de integrales propias, y esa definición es justamente lo que da sentido a la pregunta sobre la convergencia:

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx$

2. 2

   Sustituye $u=x^2$. El factor $x$ que va delante es exactamente lo que la sustitución necesita; por eso $x\,e^{-x^2}$ es elemental mientras que $e^{-x^2}$ por sí solo no lo es:

   $u=x^2,\qquad du=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac{du}{2}$

   Los límites también se transforman: $x=0\Rightarrow u=0$ y $x=b\Rightarrow u=b^2$.

3. 3

   Integra en $u$.

   $\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{b^2}e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^{b^2}=\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)$

4. 4

   Toma el límite. Cuando $b\to\infty$, se tiene $b^2\to\infty$ y $e^{-b^2}\to 0$:

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac12$

   La integral converge, y el decaimiento es extremadamente rápido: en $b=3$ la cola restante aporta apenas $\tfrac12 e^{-9}\approx 6\times 10^{-5}$.

5. 5

   Contrasta con un resultado emparentado. Como el integrando es impar, la misma primitiva da $\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=0$, mientras que su compañera par, $\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0.886$, no tiene primitiva elemental alguna. Comparar ambas muestra cuánto cambia el problema ese único factor $x$: con él, un valor exacto de $\tfrac12$; sin él, un valor que exige el truco gaussiano.