Una población de conejos en una reserva empieza con 800 individuos y crece a un ritmo proporcional a su tamaño, con constante de crecimiento 0.12 por año. Resuelve la ecuación diferencial, halla la población después de 5 años y halla el tiempo de duplicación.

Step-by-step solution

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   Separa las variables. La ecuación $\dfrac{dP}{dt}=0.12P$ es separable — reúne $P$ de un lado y $t$ del otro:

   $\frac{dP}{P}=0.12\,dt$

2. 2

   Integra ambos lados y despeja P.

   $\ln|P|=0.12t+C\quad\Longrightarrow\quad P(t)=Ae^{0.12t}$

   Aplicando $P(0)=800$ resulta $A=800$, así que

   $P(t)=800e^{0.12t}$

3. 3

   Evalúa en t = 5.

   $P(5)=800e^{0.12(5)}=800e^{0.6}=800(1.82212)=1457.7$

   Redondeando a conejos enteros,

   $P(5)\approx 1458\ \text{conejos}$

4. 4

   Plantea la condición de duplicación. Duplicarse significa $P(t)=2P(0)$, es decir

   $800e^{0.12t}=1600\quad\Longrightarrow\quad e^{0.12t}=2$

5. 5

   Despeja el tiempo de duplicación.

   $0.12t=\ln 2\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln 2}{0.12}=\frac{0.69315}{0.12}=5.776\ \text{años}$

   $\boxed{P(5)\approx 1458\ \text{conejos};\qquad t_{\text{duplicación}}\approx 5.78\ \text{años}}$

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   Observa que el tiempo de duplicación no depende del tamaño inicial. El $800$ se cancela en $\tfrac{P(t)}{P(0)}=e^{kt}$, así que cualquier población en crecimiento exponencial con $k=0.12$ se duplica cada $5.78$ años. Comprobación cruzada: después de $5.776$ años el modelo da $800e^{0.12(5.776)}=800e^{0.6931}=1600$ ✓, y después de $5$ años la razón $\tfrac{1458}{800}=1.822$ queda justo por debajo de $2$, consistente con un tiempo de duplicación algo mayor que $5$ años.