Evalúa el límite de √(x³ + 4x²)/x cuando x tiende a 0, si existe.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la forma. Tanto el radical como $x$ tienden a $0$, así que el cociente es $\frac{0}{0}$ y hay que simplificarlo.

2. 2

   Factoriza dentro del radical. $x^3+4x^2=x^2(x+4)$, de modo que $\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{x+4}$ siempre que $x+4\ge 0$.

3. 3

   Trata la raíz cuadrada correctamente. El punto crucial es que $\sqrt{x^2}=|x|$, y no $x$. Escribir $\sqrt{x^2}=x$ es el error que hace que este problema parezca tener por respuesta $2$.

4. 4

   Reduce el cociente. $\frac{|x|\sqrt{x+4}}{x}=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x+4}$, ya que $\frac{|x|}{x}$ vale $+1$ para $x>0$ y $-1$ para $x<0$.

5. 5

   Toma los dos límites laterales. Por la derecha, $\lim_{x\to 0^+}=+\sqrt{4}=2$. Por la izquierda, $\lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{4}=-2$.

6. 6

   Concluye. Los límites laterales son finitos pero distintos, así que el límite bilateral no existe; la función tiene un salto de tamaño $4$ en el origen.