Calcula la integral triple de z² sobre la región limitada por la esfera z = √(1 − x² − y²) y el cono z = √(x² + y²).

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica el sólido. Elevando al cuadrado la ecuación de la esfera se obtiene $x^2+y^2+z^2=1$ con $z\ge 0$: la semiesfera unitaria superior. El cono es $z=r$ en coordenadas cilíndricas. La región es el sólido con forma de cono de helado, interior a la semiesfera y situado por encima del cono.

2. 2

   Halla dónde se cortan las dos superficies. Igualando $r=\sqrt{1-r^2}$ resulta $2r^2=1$, de donde $r=\tfrac{1}{\sqrt2}$ y $z=\tfrac{1}{\sqrt2}$. Eso fija el rango radial.

3. 3

   Plantéala en coordenadas cilíndricas. Con $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$, $\iiint_\Omega z^2\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{1/\sqrt2}\!\!\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz\,dr\,d\theta.$ Las cilíndricas ganan aquí a las esféricas porque el cono y la esfera dan límites limpios para $z$.

4. 4

   Integra en $z$ y elimina $\theta$. $\int_r^{\sqrt{1-r^2}}z^2r\,dz=\frac{r}{3}\Bigl[(1-r^2)^{3/2}-r^3\Bigr],$ y el integrando no depende de $\theta$, así que la integral en $\theta$ aporta un factor $2\pi$.

5. 5

   Resuelve las dos integrales radiales. Con $u=1-r^2$, $\int_0^{1/\sqrt2}r(1-r^2)^{3/2}\,dr=\frac12\int_{1/2}^{1}u^{3/2}\,du=\frac15\left(1-\frac{1}{4\sqrt2}\right),$ y $\int_0^{1/\sqrt2}r^4\,dr=\frac15\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{5}=\frac{1}{20\sqrt2}.$

6. 6

   Combina. El corchete vale $\tfrac15-\tfrac{1}{20\sqrt2}-\tfrac{1}{20\sqrt2}=\tfrac15-\tfrac{1}{10\sqrt2}$, de modo que $\iiint_\Omega z^2\,dV=\frac{2\pi}{3}\left(\frac15-\frac{1}{10\sqrt2}\right)=\frac{\pi}{15}\left(2-\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{\pi(4-\sqrt2)}{30}.$ Numéricamente esto es $0.270783$, que coincide con una cuadratura numérica directa de la integral original.