Calcula la integral triple de yz sobre la región 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ y².

Step-by-step solution

1. 1

   Entiende por qué el orden de integración está forzado aquí. El límite interno de $z$ es $y^2$, así que $z$ debe integrarse antes que $y$: la variable intermedia no puede eliminarse mientras el límite interno siga dependiendo de ella. La región es el sólido situado bajo la lámina parabólica $z = y^2$, extruido a lo largo de $x$.

2. 2

   Integra en z. Manteniendo $y$ constante:

   $\int_0^{y^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{y^2} = y \cdot \frac{y^4}{2} = \frac{y^5}{2}$

   El integrando $y$ y el límite $y^2$ se combinan y empujan la potencia de $1$ hasta $5$.

3. 3

   Integra en y desde 0 hasta 2.

   $\int_0^2 \frac{y^5}{2}\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^6}{6}\right]_0^2 = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}$

4. 4

   Integra en x. Nada de lo que queda depende de $x$, así que esto equivale a multiplicar por la longitud del intervalo, $2\pi$:

   $\int_0^{2\pi}\frac{16}{3}\,dx = \frac{16}{3}\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3}$

5. 5

   Contrástalo con la región complementaria. Sobre la caja completa $0 \le z \le 4$ la integral vale $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$. La parte que queda por encima de la lámina, $y^2 \le z \le 4$, resulta ser $\frac{64\pi}{3}$, y

   $\frac{32\pi}{3} + \frac{64\pi}{3} = 32\pi \ \checkmark$

   Así que $\frac{32\pi}{3} \approx 33.51$ queda confirmado.