Calcula la suma de 2k / 2^k para k desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

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   Saca la constante y ponle nombre a la forma. Una suma cuyos términos son un factor lineal por un factor geométrico se llama aritmético-geométrica; converge siempre que la razón sea menor que 1 en valor absoluto:

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}$

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   Deduce la fórmula clave derivando la serie geométrica. A partir de $\sum_{k\ge 0}x^{k}=\dfrac{1}{1-x}$, deriva y multiplica por $x$:

   $\sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}\ \Longrightarrow\ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad |x|<1$

   Derivar es lo que produce el factor extra $k$; esta es la forma habitual de generar tales fórmulas en vez de memorizarlas.

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   Sustituye $x=\tfrac12$.

   $\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac12\right)^{k}=\frac{\frac12}{\left(1-\frac12\right)^{2}}=\frac{\frac12}{\frac14}=2$

   Elevar al cuadrado el denominador es imprescindible: usar $1-\tfrac12$ en lugar de $\left(1-\tfrac12\right)^{2}$ daría 1.

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   Multiplica por la constante 2.

   $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{2^{k}}=2\times 2=4$

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   Comprueba sumando términos. Los primeros son $1,1,0.75,0.5,0.3125,\dots$ y el total acumulado sube $1,2,2.75,3.25,3.5625,\dots$ hacia $4$; sumar 200 términos da exactamente $4.0$ en doble precisión ✓. La convergencia es rápida porque el factor geométrico acaba imponiéndose al lineal.