Calcula la integral definida de 1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 respecto de x desde x = 0 hasta x = 300.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la integral en las dos piezas que puedes tratar por separado. El integrando es una exponencial decreciente más una constante, y la integración es lineal, así que

   $\int_0^{300}\!\!\left(a\,e^{-x/k}+c\right)dx=a\int_0^{300}\!e^{-x/k}dx+c\int_0^{300}\!dx$

   con $a=1.62482$, $k=12.72238$, $c=2.85422$.

2. 2

   Halla la primitiva de la exponencial. Como $\dfrac{d}{dx}e^{-x/k}=-\dfrac{1}{k}e^{-x/k}$, la primitiva se lleva un factor $-k$:

   $\int a\,e^{-x/k}dx=-ak\,e^{-x/k}+C,\qquad \int c\,dx=cx+C$

   así que $F(x)=-ak\,e^{-x/k}+cx$.

3. 3

   Evalúa en los límites y simplifica.

   $F(300)-F(0)=ak\left(1-e^{-300/k}\right)+300c$

   El $-e^{-x/k}$ del límite inferior se vuelve $+1$, y por eso el término de decaimiento aporta un $ak$ positivo.

4. 4

   Calcula los números con cuidado. El coeficiente del decaimiento es

   $ak=1.62482\times12.72238=20.6715774716$

   y la parte constante es

   $300c=300\times2.85422=856.266$

5. 5

   Muestra que la cola exponencial es despreciable. $\dfrac{300}{12.72238}=23.5805$, y $e^{-23.5805}=5.743\times10^{-11}$. Así que $1-e^{-300/k}=0.99999999994$, lo que cambia $ak$ solo en el noveno decimal: la integral ya alcanzó de hecho su valor de horizonte infinito $ak+300c$.

6. 6

   Suma y enuncia el resultado, corrigiendo un desliz frecuente.

   $20.6715774716+856.266=876.9375774716$

   A veces se cita el valor $876.93843$, pero proviene de multiplicar mal $1.62482\times12.72238$ como $20.6724315116$; el producto verdadero es $20.6715774716$.

7. 7

   Verifica por integración numérica. Una suma trapezoidal con tres millones de subintervalos sobre $[0,300]$ da $876.9375775$, que coincide con la forma cerrada hasta el séptimo decimal ✓.