Resuelva la ecuación diferencial dy/dx = ((2y + 3)/(4x + 5))² y dé la solución general en forma implícita.

Step-by-step solution

1. 1

   Compruebe que la ecuación es separable antes de elegir un método. Elevar el cociente al cuadrado mantiene la parte en $y$ y la parte en $x$ en factores separados:

   $\frac{dy}{dx}=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}},$

   que es exactamente la forma $y'=g(y)h(x)$. No hace falta ningún factor integrante: esto no es lineal en $y$, así que intentar aquí la maquinaria de las ecuaciones lineales fracasaría.

2. 2

   Separe las variables. Divida entre $(2y+3)^{2}$ y multiplique por $dx$:

   $\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac{dx}{(4x+5)^{2}}.$

   Dividir entre $(2y+3)^{2}$ cuesta la solución constante $y=-\tfrac32$, que sí satisface la ecuación original ($y'=0$ y el lado derecho vale $0$). Es una solución singular, fuera de la familia general, así que conviene anotarla desde ahora.

3. 3

   Integre el lado de $y$ con la sustitución $u=2y+3$. Entonces $du=2\,dy$, o sea $dy=\tfrac{du}{2}$, y

   $\int\frac{dy}{(2y+3)^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du=-\frac{1}{2u}=-\frac{1}{2(2y+3)}.$

   El factor $\tfrac12$ viene de la regla de la cadena; olvidarlo es el error más frecuente en las integrales con sustitución lineal.

4. 4

   Integre el lado de $x$ del mismo modo con $v=4x+5$. Aquí $dv=4\,dx$, de manera que

   $\int\frac{dx}{(4x+5)^{2}}=\frac14\int v^{-2}\,dv=-\frac{1}{4v}=-\frac{1}{4(4x+5)}.$

   La constante que queda al frente es $\tfrac14$ porque la derivada interior es $4$, siguiendo el patrón $\int f(ax+b)\,dx=\tfrac1a F(ax+b)$.

5. 5

   Combine y absorba las constantes. Igualando las dos primitivas y agregando una sola constante arbitraria:

   $-\frac{1}{2(2y+3)}=-\frac{1}{4(4x+5)}+C.$

   Multiplicando por $-2$ y renombrando la constante se llega a la forma implícita más limpia

   $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C,$

   ya que $\dfrac{2}{4(4x+5)}=\dfrac{1}{2(4x+5)}=\dfrac{1}{8x+10}$.

6. 6

   Verifique por derivación implícita. Derivando $\frac{1}{2y+3}=\frac{1}{8x+10}+C$ respecto de $x$:

   $-\frac{2y'}{(2y+3)^{2}}=-\frac{8}{(8x+10)^{2}}=-\frac{8}{4(4x+5)^{2}},$

   así que $y'=\frac{(2y+3)^{2}}{(4x+5)^{2}}$ ✓. Una comprobación numérica puntual con $C=0.3$ en $x=1$ da $y'=0.09765625$ desde la solución implícita y $0.09765625$ desde el lado derecho.