Evalúa el límite, cuando x tiende a 0, de (1 + tan 5x − cos x) dividido entre (la raíz cuadrada de 1 − x cuadrado, menos la raíz quinta de 1 + x).

Step-by-step solution

1. 1

   Verifica la forma 0/0. En $x = 0$ el numerador es $1 + \tan 0 - \cos 0 = 1 + 0 - 1 = 0$ y el denominador es $\sqrt{1} - 1 = 0$. Los dos se anulan, así que los desarrollos en serie hasta el primer orden que sobreviva decidirán el límite.

2. 2

   Desarrolla el numerador. Usando $\tan u = u + O(u^3)$ con $u = 5x$, y $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$:

   $1 + \tan 5x - \cos x = 1 + 5x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + O(x^3) = 5x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

   Las constantes $1$ y $-1$ se cancelan y queda un término dominante $5x$ — de orden uno.

3. 3

   Desarrolla el denominador con la serie binomial generalizada. Para $(1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + O(u^2)$:

   $\sqrt{1 - x^2} = (1 - x^2)^{1/2} = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$

   $(1 + x)^{1/5} = 1 + \frac{x}{5} + O(x^2)$

   La asimetría clave: la raíz cuadrada no tiene término lineal (su argumento es $-x^2$), mientras que la raíz quinta sí lo tiene.

4. 4

   Resta para hallar el comportamiento dominante del denominador.

   $\sqrt{1 - x^2} - (1 + x)^{1/5} = \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) - \left(1 + \frac{x}{5}\right) + O(x^2) = -\frac{x}{5} + O(x^2)$

   Así que el denominador también es de orden uno, y negativo para valores pequeños de $x > 0$.

5. 5

   Cancela un factor x y evalúa.

   $\lim_{x \to 0} \frac{x\left(5 + O(x)\right)}{x\left(-\frac{1}{5} + O(x)\right)} = \frac{5}{-\frac{1}{5}} = -25$

6. 6

   Confirma numéricamente por ambos lados. En $x = 10^{-5}$ el cociente vale $-24.99950$ y en $x = -10^{-5}$ vale $-25.00050$; en $x = \pm 10^{-6}$ los valores se ajustan a $-24.99995$ y $-25.00005$. El límite bilateral es $-25$.