Demuestra que x = sin(kt) + cos(kt) satisface la ecuación diferencial x'' + k²x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Planifica la verificación. Para confirmar una solución propuesta, derívala dos veces, sustitúyela en la ecuación y comprueba que el miembro izquierdo se reduce a cero de forma idéntica, para todo $t$ y no solo en unos cuantos puntos de muestra.

2. 2

   Deriva una vez aplicando la regla de la cadena. La función interior es $kt$, cuya derivada es $k$, así que cada término gana un factor $k$:

   $x'=k\cos(kt)-k\sin(kt)$

   Fíjate en el cambio de signo: $\sin$ se deriva a $+\cos$, pero $\cos$ se deriva a $-\sin$.

3. 3

   Deriva otra vez. Cada término gana otro factor $k$ y los signos vuelven a intercambiarse:

   $x''=-k^2\sin(kt)-k^2\cos(kt)$

   Así que dos derivaciones producen $k^2$ y una inversión neta de signo, el rasgo característico del seno y el coseno.

4. 4

   Saca factor común -k^2 y reconoce la función original.

   $x''=-k^2\left(\sin(kt)+\cos(kt)\right)=-k^2x$

   porque el paréntesis es exactamente $x$.

5. 5

   Sustituye en la ecuación.

   $x''+k^2x=-k^2x+k^2x=0\ \checkmark$

   La identidad se cumple para todo $t$ y todo $k$, así que la función es una solución auténtica.

6. 6

   Observa qué significa esto en lo físico y en lo estructural. $x''+k^2x=0$ es el movimiento armónico simple, y $\{\cos(kt),\sin(kt)\}$ genera todo su espacio de soluciones, de dimensión dos; así que $\sin(kt)+\cos(kt)$ es el miembro con ambos coeficientes iguales a $1$. Se puede reescribir en forma amplitud-fase como $\sqrt2\sin\!\left(kt+\tfrac{\pi}{4}\right)$, lo que deja a la vista la amplitud $\sqrt2$ y el periodo $\tfrac{2\pi}{k}$.

7. 7

   Verifica numéricamente. Con $k=1.7$, una diferencia central de segundo orden con paso $10^{-4}$ da valores de $x''$ que coinciden con $-k^2x$ en $t=0.3,\,1.1,\,-2.0$ con cuatro cifras significativas ✓, y la reescritura amplitud-fase coincide con la original en todos los puntos de prueba ✓.