Determina si la suma de 1/(1 + n (ln n)²) desde n = 1 hasta infinito converge y estima su valor.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata el primer término por separado. En $n=1$, $\ln 1=0$, así que el término vale $\dfrac{1}{1+0}=1$. El comportamiento interesante empieza en $n=2$, así que escribe

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}$

2. 2

   Compara con la serie de Bertrand. Para $n\ge 2$ el $+1$ solo agranda el denominador, así que

   $0<\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}<\frac{1}{n\left(\ln n\right)^{2}}$

   y $\sum_{n\ge 2}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}}$ converge exactamente cuando $p>1$. Aquí $p=2$, así que la serie de comparación converge y la serie dada también converge.

3. 3

   Observa por qué $p>1$ es el umbral. El cambio de variable $u=\ln x$ convierte el criterio de la integral en

   $\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{\ln 2}$

   finito porque el exponente de $u$ es mayor que 1. Con $p=1$ el mismo cambio da $\int du/u$, que diverge: el caso frontera clásico.

4. 4

   Acepta que no existe una forma cerrada elemental. A diferencia de $\sum 1/n^{2}=\pi^{2}/6$, esta suma no tiene ninguna expresión conocida en términos de constantes habituales, así que la respuesta honesta es un veredicto de convergencia más un valor numérico.

5. 5

   Estima el valor con una integral de la cola, no con una suma parcial en bruto. La convergencia es extremadamente lenta: la cola posterior a $N$ términos vale aproximadamente

   $\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}=\frac{1}{\ln N}$

   Con $N=10^{7}$ la suma parcial es $2.42985$, pero la cola todavía vale $0.06204$: detenerse ahí e informar $2.43$ (o $2.42$) subestima la respuesta en más del $2\%$.

6. 6

   Combina la suma parcial y la cola. Sumar las dos piezas en distintos cortes da un valor estable:

   $N=10^{4}:\ 2.38332+0.10857=2.49189,\qquad N=10^{7}:\ 2.42985+0.06204=2.49189$

   de modo que

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+n\left(\ln n\right)^{2}}\approx 2.4919$

   La coincidencia a lo largo de tres órdenes de magnitud en $N$ es lo que hace fiable la estimación.