Calcula el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de (x/((e^x − 1) cos √x)) elevado a 1/((1 + sen(x²))^(1/x) − 1). Elige entre e^(1/2), e^(−1/2), e o 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar la forma indeterminada y montar la reducción estándar. La base tiende a $1$ y el exponente crece sin cota, así que se trata de $1^{\infty}$. Se escribe $L=\lim u^{v}$ y se usa

   $L=\exp\left(\lim v\ln u\right)\approx\exp\left(\lim v(u-1)\right),$

   ya que $\ln u\sim u-1$ cuando $u\to 1$. A partir de aquí todo depende de con qué rapidez $u-1\to 0$ frente a $v\to\infty$.

2. 2

   Desarrollar el denominador del exponente. Para $x$ pequeño, $\sin x^{2}=x^{2}+O(x^{6})$, así que

   $\left(1+\sin x^{2}\right)^{1/x}=\exp\left(\frac{\ln\left(1+x^{2}+\cdots\right)}{x}\right)=\exp\left(x+O(x^{3})\right)=1+x+O(x^{2}).$

   Al restar $1$ queda $x+O(x^2)$, de modo que el exponente es

   $v=\frac{1}{x+O(x^{2})}\sim\frac{1}{x}.$

3. 3

   Desarrollar la base con órdenes suficientes. Se usa $e^{x}-1=x+\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})$ y $\cos\sqrt{x}=1-\tfrac{x}{2}+O(x^{2})$. Su producto es

   $\left(x+\tfrac{x^{2}}{2}\right)\left(1-\tfrac{x}{2}\right)=x+\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{2}}{2}+O(x^{3})=x+O(x^{3}).$

   Las dos correcciones de primer orden se cancelan exactamente, y esa cancelación es todo el objetivo del problema.

4. 4

   Formar la base y ver cuán cerca de 1 queda.

   $u=\frac{x}{x+O(x^{3})}=1+O(x^{2}),\qquad\text{de modo que}\qquad u-1=O(x^{2}).$

5. 5

   Combinar exponente y base.

   $v(u-1)=\frac{1}{x}\cdot O\!\left(x^{2}\right)=O(x)\longrightarrow 0,$

   de donde

   $L=e^{0}=1.$

   Si los términos en $x^2$ no se hubieran cancelado en el paso 3, $u-1$ habría sido de orden $x$ y la respuesta habría sido $e^{\pm 1/2}$, que es exactamente el anzuelo de las opciones (A) y (B).

6. 6

   Confirmar numéricamente. Al evaluar la expresión original se obtiene $1.004211$ en $x=0.1$, $1.000417$ en $x=0.01$, $1.0000417$ en $x=0.001$ y $1.0000042$ en $x=10^{-4}$: se acerca a $1$ linealmente en $x$, exactamente como predice la estimación $O(x)$. La respuesta es (D).