Calcula la integral definida de x = −2 a x = 2 de (x² cos(x/2) + 1/2) por √(4 − x²), y da un valor numérico.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la integral en el signo más. Los dos trozos se comportan de maneras completamente distintas:

   $I=\underbrace{\int_{-2}^{2}x^{2}\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx}_{J}+\frac12\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx.$

   Separarlos primero evita mezclar un área elemental con una integral que es genuinamente de función especial.

2. 2

   Evalúa la mitad fácil geométricamente. La gráfica de $y=\sqrt{4-x^{2}}$ en $[-2,2]$ es la mitad superior de la circunferencia de radio $2$, así que

   $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^{2}}\,dx=\frac{\pi(2)^{2}}{2}=2\pi,\qquad \frac12(2\pi)=\pi.$

3. 3

   Reconoce $J$ como un momento de Bessel. La integral de Poisson da, para $z=ab$,

   $\int_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\cos(bx)\,dx=\frac{\pi a}{b}J_{1}(ab).$

   Derivar dos veces respecto de $b$ hace aparecer $-x^{2}$, así que con $a=2$, $b=\tfrac12$, $z=1$ y las identidades $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}J_{1}\bigr)=-z^{-1}J_{2}$ y $\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}J_{2}\bigr)=-z^{-2}J_{3}$,

   $J=\pi a^{4}\left(\frac{J_{2}(z)}{z^{2}}-\frac{J_{3}(z)}{z}\right)=16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr).$

4. 4

   Simplifica con la relación de recurrencia. Como $J_{3}(1)=4J_{2}(1)-J_{1}(1)$, la misma cantidad se puede escribir

   $J=16\pi\bigl(J_{1}(1)-3J_{2}(1)\bigr).$

   Con $J_{1}(1)=0.4400506$ y $J_{2}(1)=0.1149035$ esto da $J=16\pi(0.0953401)=4.7923177$.

5. 5

   Suma las dos mitades.

   $I=\pi+16\pi\bigl(J_{2}(1)-J_{3}(1)\bigr)=3.1415927+4.7923177=7.9339103.$

   Una cuadratura numérica de alta precisión del integrando original devuelve $7.933910333308135$, que coincide en quince cifras. Una vía errónea frecuente es dar $J=8\pi J_{2}(1)-4\pi J_{1}(1)$, que vale $-2.6420$ y daría $I\approx 0.4996$: signo equivocado y magnitud equivocada, porque esa combinación no es la segunda derivada respecto de $b$ de la fórmula de Poisson.