Dibuja la región R limitada por y = x², y = 2 − x, x = 0 y x = 1, y después evalúa la integral doble de x² + y² sobre R respecto de y y luego respecto de x.

Step-by-step solution

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   Describe la región antes de escribir ningún límite. En la franja $0\le x\le 1$ compara las dos curvas. En $x=0$ dan $y=0$ y $y=2$; en $x=1$ dan $y=1$ y $y=1$. Como $2-x-x^2=(2+x)(1-x)\ge 0$ en $[0,1]$, la parábola es la frontera inferior y la recta es la superior en todo el intervalo, y se encuentran solo en la esquina $(1,1)$.

2. 2

   Plantea la integral iterada en el orden dy dx. Como el corte vertical en cada $x$ va limpiamente de una curva a la otra, este orden no necesita dividirse en casos:

   $I=\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\,dx.$

3. 3

   Haz la integral interior, tratando x como constante.

   $\int_{x^{2}}^{2-x}\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x}$

   $=x^{2}\left(2-x-x^{2}\right)+\frac{(2-x)^{3}-x^{6}}{3}.$

4. 4

   Desarrolla en un solo polinomio en x. Usando $(2-x)^3=8-12x+6x^2-x^3$,

   $=2x^{2}-x^{3}-x^{4}+\frac{8-12x+6x^{2}-x^{3}-x^{6}}{3}=\frac{8}{3}-4x+4x^{2}-\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.$

5. 5

   Integra término a término de 0 a 1.

   $I=\frac{8}{3}-2+\frac{4}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21}.$

   Con el común denominador $105$ esto es

   $I=\frac{280-210+140-35-21-5}{105}=\frac{149}{105}.$

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   Comprueba el tamaño del resultado. La región tiene área $\int_0^1(2-x-x^2)dx=2-\tfrac12-\tfrac13=\tfrac76\approx1.167$, y $x^2+y^2$ va de $0$ hasta $4$ sobre ella, así que un valor promedio cercano a $\tfrac{149/105}{7/6}\approx1.22$ es completamente plausible. Una estimación de Monte Carlo sobre la misma región devuelve $1.4195$, que coincide con $149/105\approx1.4190$.