Halla el límite de (2^x − 3^x)/(2^x + 3^x) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Diagnosticar la forma. Tanto $2^x$ como $3^x$ tienden a $\infty$, así que el cociente es $\tfrac{\infty-\infty}{\infty+\infty}$: indeterminado. Nótese que L'Hôpital sería una mala elección aquí: al derivar se reproduce la misma forma con factores $\ln 2$ y $\ln 3$ adicionales, y nunca se simplifica.

2. 2

   Decidir qué exponencial domina. Para $x$ grande, comparar las bases lo decide todo: como $3>2$,

   $\frac{2^{x}}{3^{x}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\longrightarrow 0\quad\text{cuando }x\to\infty$

   porque la base $\tfrac23<1$. Así que $3^x$ es el término dominante tanto en el numerador como en el denominador.

3. 3

   Dividir numerador y denominador entre el término dominante $3^{x}$. Este es el paso algebraico clave: dividir entre la cantidad creciente mayor es lo que elimina la indeterminación:

   $\frac{2^{x}-3^{x}}{2^{x}+3^{x}}=\frac{\left(\frac23\right)^{x}-1}{\left(\frac23\right)^{x}+1}$

4. 4

   Tomar el límite. Escribiendo $t=\left(\tfrac23\right)^{x}\to 0^{+}$:

   $\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t-1}{t+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1$

   Así que el límite es $-1$. Intuitivamente, el $-3^x$ arrasa con todo y la razón se acerca a $\tfrac{-3^x}{3^x}=-1$.

5. 5

   Comprobar numéricamente el acercamiento y considerar la otra dirección. En $x=50$ el cociente vale $-0.9999999969$ y para $x=200$ ya es $-1$ con precisión de máquina $\checkmark$. El acercamiento es por arriba, ya que $\tfrac{t-1}{t+1}<0$ pero aumenta hacia $-1$ cuando $t\to 0$. En contraste, cuando $x\to-\infty$ los papeles se invierten (domina $2^x$) y la misma expresión tiende a $+1$.