Halla la derivada de cada función: y = 1/√x, y = x/2 − 2/x, y = x(√x − x) e y = (3x − 2)(3x + 2).

Step-by-step solution

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   Fíjate en qué tienen en común estas cuatro. Tal como están escritas, ninguna es una simple suma de potencias: hay raíces, cocientes y productos. La regla de la potencia $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ solo sirve para potencias, así que cada una hay que reescribirla primero. Hacerlo casi siempre es más rápido que recurrir a la regla del cociente o a la del producto.

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   (1) Reescribe la raíz como una potencia fraccionaria negativa.

   $y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\ \Longrightarrow\ y'=-\tfrac12 x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

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   (2) Separa el cociente en dos términos simples.

   $y=\tfrac12 x-2x^{-1}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac12-2(-1)x^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}}.$

   El cambio de signo del segundo término es la trampa habitual: al derivar $-2x^{-1}$ se obtiene $+2x^{-2}$.

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   (3) Desarrolla el producto antes de derivar.

   $y=x\left(x^{1/2}-x\right)=x^{3/2}-x^{2}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac32 x^{1/2}-2x=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x.$

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   (4) Multiplica el par de conjugados. Es una diferencia de cuadrados, así que los términos centrales se cancelan:

   $y=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\ \Longrightarrow\ y'=18x.$

   La constante $-4$ se deriva a $0$.

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   Reúne las cuatro respuestas.

   $y'=-\frac{1}{2x^{3/2}},\qquad y'=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}},\qquad y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x,\qquad y'=18x.$

   Para (1) y (3) el dominio es $x>0$; para (2) es $x\neq 0$. Cada resultado se confirmó derivando simbólicamente la forma original sin reescribir.