Evalúa el límite de 3 cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Identifica la función. La expresión dentro del límite no contiene ninguna $x$, así que se trata de la función constante $f(x)=3$. Su gráfica es una recta horizontal a la altura $3$.

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   Aplica la regla de la constante para límites. Para cualquier constante $c$ y cualquier tipo de acercamiento — a un punto finito o al infinito —

   $\lim_{x\to a}c=c$

   porque la salida de la función nunca cambia mientras la entrada se mueve.

3. 3

   Concluye.

   $\lim_{x\to\infty}3=3$

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   Contrástalo con la definición. Un límite $L$ en el infinito exige que para todo $\varepsilon>0$ exista un $M$ tal que $|f(x)-L|<\varepsilon$ siempre que $x>M$. Aquí $|3-3|=0<\varepsilon$ para todo $x$, así que sirve cualquier $M$ — la condición se cumple de manera trivial.

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   Fíjate en la confusión habitual. La respuesta no es $\infty$: lo que crece sin cota es la entrada, no la salida. Tampoco queda indefinida — las constantes están entre las funciones de mejor comportamiento que existen. Compara con $\lim_{x\to\infty}\tfrac{3x+1}{x}=3$, que también vale $3$ pero por una razón realmente distinta: allí la función se va acercando a $3$, mientras que aquí se mantiene en $3$ todo el tiempo.