Halla la derivada de ln(3x²).

Step-by-step solution

1. 1

   Aplica la regla de la cadena para logaritmos. Para cualquier función interior derivable,

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$

   Aquí $u=3x^2$, así que la derivada es la derivada del interior dividida entre el interior: una sola fórmula, sin necesidad de la regla del producto.

2. 2

   Deriva el interior.

   $u=3x^2\ \Longrightarrow\ u'=6x$

3. 3

   Forma el cociente y simplifica.

   $\frac{d}{dx}\ln\left(3x^2\right)=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$

   Se cancelan tanto el coeficiente $3$ como una potencia de $x$. La respuesta es válida para $x\neq 0$, que es también donde está definida $\ln(3x^2)$.

4. 4

   Mira por qué el 3 tenía que desaparecer. Las propiedades del logaritmo dan

   $\ln\left(3x^2\right)=\ln 3+2\ln x$

   una constante más $2\ln x$. Las constantes derivan a cero, así que la derivada es $2\cdot\tfrac1x=\tfrac2x$, lo que concuerda con la cancelación y además la explica. Toda constante multiplicativa dentro de un logaritmo es invisible para la derivada.

5. 5

   Comprueba numéricamente. En $x=2.3$ una diferencia centrada da $0.8695652$, y $\tfrac{2}{2.3}=0.8695652$ ✓. Observa que la derivada es positiva para $x>0$ y negativa para $x<0$, en consonancia con el dominio en dos ramas de $\ln(3x^2)$.