Calcula la integral de sen(x)/sen²(4 cos(x)) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta la función interior y su derivada. La parte incómoda es la composición $\sin^{2}(4\cos x)$, cuya función interior es $4\cos x$. Su derivada es $-4\sin x$, y en el numerador ya hay un factor $\sin x$, así que la sustitución $u=4\cos x$ va a limpiar la integral por completo.

2. 2

   Realiza la sustitución. De $u=4\cos x$ sale $du=-4\sin x\,dx$, luego $\sin x\,dx=-\frac14\,du$, y $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=-\frac14\int\frac{du}{\sin^{2}u}=-\frac14\int\csc^{2}u\,du .$

3. 3

   Usa la primitiva estándar de la cosecante al cuadrado. Como $\frac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u$, se tiene $\int\csc^{2}u\,du=-\cot u+C$, de modo que $-\frac14\int\csc^{2}u\,du=\frac14\cot u+C .$

4. 4

   Vuelve a la variable original. Deshaciendo $u=4\cos x$ queda $\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=\frac14\cot(4\cos x)+C .$

5. 5

   Verifica derivando. $\frac{d}{dx}\left[\frac14\cot(4\cos x)\right]=\frac14\left(-\csc^{2}(4\cos x)\right)\cdot(-4\sin x)=\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}$, que es el integrando original, así que la primitiva es correcta en todo intervalo donde $\sin(4\cos x)\ne 0$.