Halla la solución general de x'' + kx = 0 para cada valor de la constante k.

Step-by-step solution

1. 1

   Formar la ecuación característica. Al sustituir la solución de prueba $x=e^{rt}$ resulta $x''=r^{2}e^{rt}$, así que

   $r^{2}e^{rt}+ke^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+k\right)=0$

   Como $e^{rt}\neq0$, las raíces cumplen $r^{2}=-k$. A partir de aquí todo depende del signo de $k$, porque es lo que decide si $-k$ tiene raíces cuadradas reales o imaginarias.

2. 2

   Caso $k>0$: raíces imaginarias puras, oscilación. Entonces $-k<0$, así que $r=\pm i\sqrt{k}$. Un par imaginario conjugado con parte real nula se traduce en seno y coseno:

   $x(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right)$

   El movimiento es acotado y periódico, de periodo $2\pi/\sqrt{k}$: es el caso del movimiento armónico simple. Una comprobación numérica con $k=2.5$ da un residuo por debajo de $10^{-5}$ ✓.

3. 3

   Caso $k=0$: raíz doble en cero. La ecuación se reduce a $x''=0$. Integrando dos veces,

   $x'=C_{1}\quad\Longrightarrow\quad x(t)=C_{1}t+C_{2}$

   La raíz doble $r=0$ aporta las dos soluciones independientes $1$ y $t$: el factor extra $t$ es la regla habitual para raíces repetidas, y es la razón de que la respuesta sea una recta y no una sola constante.

4. 4

   Caso $k<0$: dos raíces reales, crecimiento y decaimiento exponencial. Ahora $-k>0$, así que $r=\pm\sqrt{-k}$ son reales y de signos opuestos:

   $x(t)=C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t}$

   Las soluciones no están acotadas (salvo que $C_{1}=0$) y nunca oscilan. Una comprobación numérica con $k=-2.5$ da un residuo por debajo de $10^{-4}$ ✓. De forma equivalente, $x=A\cosh(\sqrt{-k}\,t)+B\sinh(\sqrt{-k}\,t)$.

5. 5

   Reunir los tres casos.

   $x(t)=\begin{cases}C_{1}\cos\!\left(\sqrt{k}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{k}\,t\right),&k>0\\ C_{1}t+C_{2},&k=0\\ C_{1}e^{\sqrt{-k}\,t}+C_{2}e^{-\sqrt{-k}\,t},&k<0\end{cases}$

   Cada caso tiene exactamente dos constantes arbitrarias, como debe ocurrir en una ecuación de segundo orden. Físicamente, $k>0$ corresponde a una fuerza restauradora (un resorte) y $k<0$ a una fuerza que aleja (un péndulo invertido).