Halla la integral indefinida de x·e^(−x²) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en por qué esta sí se puede hacer. La integral tan parecida $\int e^{-x^2}dx$ no tiene primitiva elemental. El factor extra $x$ lo cambia todo: es (salvo una constante) la derivada del exponente, así que la integral es una sustitución pura. Reconocer esa diferencia es toda la idea.

2. 2

   Elige la sustitución. Sea

   $u=-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du$

3. 3

   Reescribe la integral por completo en $u$. El $x\,dx$ del original se sustituye en bloque, y no queda nada en $x$:

   $\int x\,e^{-x^{2}}\,dx=\int e^{u}\left(-\tfrac12\,du\right)=-\tfrac12\int e^{u}\,du$

4. 4

   Integra y deshaz la sustitución.

   $-\tfrac12 e^{u}+C=-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C$

5. 5

   Deriva para comprobar. Por la regla de la cadena,

   $\frac{d}{dx}\left(-\tfrac12 e^{-x^{2}}\right)=-\tfrac12 e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x\,e^{-x^{2}}$

   que es el integrando original ✓. Una comprobación numérica puntual en $x=1.3$: el cociente de diferencias simétrico de $-\tfrac12 e^{-x^2}$ da $0.2398754$, y $x e^{-x^2}=0.2398754$ ✓.

6. 6

   Observa qué daría la versión definida. Con límites $a$ y $b$ la respuesta es $\tfrac12\left(e^{-a^2}-e^{-b^2}\right)$; en particular, $\int_0^{\infty}x e^{-x^2}dx=\tfrac12$.