Halla la serie de Taylor de 3 sen(x)/cos²(x) + sen(2x) en x = 0 hasta el grado 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Convierte el cociente en un producto de series conocidas. Derivar repetidamente $3\sin x/\cos^2 x$ es penoso, así que escríbelo como $3\sin x\cdot\sec^{2}x$ y usa dos desarrollos de Maclaurin estándar: $\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}+O(x^{7}),\qquad \sec^{2}x=1+x^{2}+\frac{2}{3}x^{4}+O(x^{6}).$

2. 2

   Multiplica conservando solo los términos hasta x^5. Recogiendo los productos cuyo grado total es a lo sumo $5$: $x\cdot 1=x$; $x\cdot x^{2}=x^{3}$; $-\frac{x^{3}}{6}\cdot 1=-\frac{x^{3}}{6}$; $x\cdot\frac23x^{4}=\frac23x^{5}$; $-\frac{x^{3}}{6}\cdot x^{2}=-\frac{x^{5}}{6}$; $\frac{x^{5}}{120}\cdot 1=\frac{x^{5}}{120}$. Por lo tanto $\sin x\,\sec^{2}x=x+\frac56x^{3}+\left(\frac23-\frac16+\frac1{120}\right)x^{5}+O(x^{6})=x+\frac56x^{3}+\frac{61}{120}x^{5}+O(x^{6}).$

3. 3

   Multiplica por 3. Al escalar toda la serie queda $\frac{3\sin x}{\cos^{2}x}=3x+\frac{5}{2}x^{3}+\frac{61}{40}x^{5}+O(x^{6}).$

4. 4

   Desarrolla el segundo sumando por sustitución. Reemplazando $x$ por $2x$ en la serie del seno, $\sin(2x)=2x-\frac{(2x)^{3}}{6}+\frac{(2x)^{5}}{120}+O(x^{7})=2x-\frac43x^{3}+\frac{4}{15}x^{5}+O(x^{7}).$

5. 5

   Suma las dos series coeficiente a coeficiente. Los términos en $x$ dan $3+2=5$; los términos en $x^{3}$ dan $\frac52-\frac43=\frac{15-8}{6}=\frac76$; los términos en $x^{5}$ dan $\frac{61}{40}+\frac{4}{15}=\frac{183+32}{120}=\frac{215}{120}=\frac{43}{24}$. Solo sobreviven las potencias impares, como cabía esperar porque $f$ es impar.

6. 6

   Comprueba el polinomio numéricamente. Evaluar $f(x)-\left(5x+\frac76x^{3}+\frac{43}{24}x^{5}\right)$ en $x=0.01,\,0.02,\,0.05$ da $8.0\times10^{-15}$, $1.0\times10^{-12}$ y $6.3\times10^{-10}$; al dividir cada uno entre $x^{7}$ se obtiene aproximadamente la misma constante $0.80$, lo que confirma que el error es $O(x^{7})$ y que no se perdió ningún término de orden inferior.