Halla la serie de Taylor de 1/x en torno a x = 0, o explica por qué no existe.

Step-by-step solution

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   Recuerda qué exige una serie de Taylor. El desarrollo $\sum_{n\ge0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ necesita que $f$ esté definida en el centro $a$ y que tenga derivadas de todos los órdenes allí. Las dos condiciones se refieren a ese único punto $a$: una función puede comportarse perfectamente en sus alrededores y aun así fallar.

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   Comprueba el primerísimo coeficiente. El término constante es $f(0) = \tfrac{1}{0}$, que no está definido. La serie ni siquiera puede arrancar, así que no existe serie de Taylor (de Maclaurin) de $1/x$ en torno a $x = 0$.

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   Confirma que el fallo es esencial, no evitable. $\lim_{x\to 0^{+}} \tfrac1x = +\infty$ mientras que $\lim_{x\to 0^{-}} \tfrac1x = -\infty$, así que no hay ningún valor que se pueda asignar en $0$ para parchear la función. La singularidad es un polo genuino de orden $1$, no un hueco evitable como el de $\tfrac{\sin x}{x}$.

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   Da el desarrollo que sí existe. Si se admiten potencias negativas se obtiene una serie de Laurent, y para esta función ya está en su forma final:

   $\frac{1}{x} = x^{-1}$

   válida en el disco perforado $0 < |x| < \infty$. Un único término $x^{-1}$ y ninguno más es precisamente lo que significa «polo simple en el origen».

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   Compáralo con un centro legítimo. En torno a $a = 1$ la función es perfectamente analítica:

   $\frac{1}{x} = \frac{1}{1 + (x-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x-1)^n, \qquad |x-1| < 1$

   El radio $1$ es exactamente la distancia del centro $1$ a la singularidad situada en $0$: esa es la regla general que fija hasta dónde puede llegar la serie de Taylor de una función racional.

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   Comprueba ese desarrollo. En $x = 1.2$ los seis primeros términos dan $1 - 0.2 + 0.04 - 0.008 + 0.0016 - 0.00032 = 0.83328$, que converge hacia $\tfrac{1}{1.2} = 0.8\overline{3}$.