Calcular la integral de theta = 0 a x de la integral de r = 0 a 1/2 del valor absoluto de (r³ sin theta cos theta + un tercio de r² sin theta) dr dtheta.

Step-by-step solution

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   Factorizar la expresión que está dentro del valor absoluto. $r^3\sin\theta\cos\theta+\frac13r^2\sin\theta = r^2\sin\theta\left(r\cos\theta+\frac13\right).$ Factorizar primero es lo que permite resolver el signo sin analizar casos en $r$.

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   Determinar el signo en el dominio. $r^2\ge0$ siempre. Para $0\le\theta\le x\le\tfrac{\pi}{2}$ se tiene $\sin\theta\ge0$ y $\cos\theta\ge0$, así que $r\cos\theta+\tfrac13\ge\tfrac13>0$. Todos los factores son no negativos, de modo que se puede quitar el valor absoluto. (Para $x>\tfrac{\pi}{2}$ el paréntesis puede volverse negativo en cuanto $r\cos\theta<-\tfrac13$, y el problema se partiría en casos.)

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   Integrar en r, tratando theta como constante. $\int_0^{1/2}r^3\,dr = \frac{1}{64},\qquad \int_0^{1/2}r^2\,dr = \frac{1}{24},$ así que la integral interior es $\frac{\sin\theta\cos\theta}{64}+\frac{\sin\theta}{72},$ usando que $\tfrac13\cdot\tfrac1{24} = \tfrac1{72}$.

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   Integrar la primera pieza en theta. Con $u=\sin\theta$, $\int_0^x\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin^2x}{2},$ así que esta pieza aporta $\dfrac{\sin^2x}{128}$.

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   Integrar la segunda pieza. $\int_0^x\sin\theta\,d\theta = 1-\cos x,$ que aporta $\dfrac{1-\cos x}{72}$.

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   Combinar y comprobar. $\int_0^x\!\!\int_0^{1/2}\left|\cdots\right|dr\,d\theta = \frac{\sin^2x}{128}+\frac{1-\cos x}{72}.$ En $x=1.1$ la forma cerrada da $0.0137940252$, y una cuadratura numérica anidada del integrando original con valor absoluto devuelve $0.0137940252$: coinciden hasta diez decimales. En $x=0$ ambos lados valen $0$, como debe ser.