Calcula la integral iterada de (y − x) dx desde x = √(1 − y²) + 1 hasta x = y, y después dy desde y = 0 hasta 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Haz la integral interior en $x$, manteniendo $y$ fijo. La primitiva de $y-x$ respecto de $x$ es

   $yx-\frac{x^2}{2}$

   Fíjate en que el límite inferior $\sqrt{1-y^2}+1$ vale al menos $1$ en $[0,1]$, mientras que el límite superior $y$ vale como mucho $1$, así que los límites van «al revés». No pasa nada: el teorema fundamental sigue aplicándose y simplemente produce un signo, que conservamos en lugar de intercambiar los límites.

2. 2

   Evalúa en los dos extremos. En $x=y$: $y^2-\tfrac{y^2}{2}=\tfrac{y^2}{2}$. En $x=\sqrt{1-y^2}+1$, desarrolla el cuadrado:

   $\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2=(1-y^2)+2\sqrt{1-y^2}+1=2-y^2+2\sqrt{1-y^2}$

   así que el valor en el extremo inferior es $y\sqrt{1-y^2}+y-1+\tfrac{y^2}{2}-\sqrt{1-y^2}$.

3. 3

   Resta y observa cómo se cancelan los términos $y^2/2$. La integral interior se reduce a

   $1-y+\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-y^2}$

   Esa cancelación es la gracia del problema: lo que parecía una expresión enredada con radicales son ahora cuatro piezas elementales.

4. 4

   Integra cada pieza sobre $y\in[0,1]$.

   $\int_0^1(1-y)\,dy=\frac12$

   $\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\quad\text{(área de un cuarto del disco unitario)}$

   $\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac13\quad\text{(sustituye }u=1-y^2\text{)}$

5. 5

   Combina y comprueba numéricamente.

   $\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac{\pi}{4}+\frac16$

   Numéricamente, $\pi/4+1/6=0.9520648300641$. Evaluar la integral interior sobre una malla de 2,000,000 de puntos en $y$ y promediar da $0.9520648300642$: coinciden hasta doce decimales ✓.