Halla el límite, cuando x tiende a 0, de (sen x)/x elevado a la potencia 1/(cos x − 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Clasifica la forma indeterminada. Cuando $x \to 0$ la base $\frac{\sin x}{x} \to 1$ mientras que el exponente $\frac{1}{\cos x - 1} \to \pm\infty$ (es negativo, ya que $\cos x - 1 < 0$). Esa es la forma $1^{\infty}$, cuyo valor está genuinamente indeterminado — puede ser cualquier cosa —, así que hay que resolverla, no adivinarla.

2. 2

   Toma logaritmos para convertir la potencia en un cociente. Sea $L$ el límite. Entonces

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right)}{\cos x - 1}$

   Ahora es un límite $0/0$ corriente, que los desarrollos en serie resuelven sin complicaciones.

3. 3

   Desarrolla la base hasta el orden x². A partir de $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$:

   $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   Después, usando $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ con $u = -\frac{x^2}{6}$:

   $\ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$

   El término principal es cuadrático, no lineal — por eso el denominador también hay que desarrollarlo hasta el orden $x^2$.

4. 4

   Desarrolla el denominador al mismo orden. A partir de $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$:

   $\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

5. 5

   Divide y exponencia. Los factores $x^2$ se cancelan y los signos también:

   $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2/6}{-x^2/2} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$

   Por lo tanto

   $L = e^{1/3} \approx 1.39561$

6. 6

   Confirma numéricamente. Al evaluar la expresión original en $x = 10^{-2}$ se obtiene $1.3956179$ y en $x = 10^{-4}$ se obtiene $1.3956124$, frente a $e^{1/3} = 1.3956124$. La función es par, así que $x < 0$ da los mismos valores — el límite bilateral existe.