Obtener la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas con centro en el origen y eje transverso sobre el eje x.

Step-by-step solution

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   Contar las constantes arbitrarias para prever el orden. La familia depende de dos parámetros independientes, $a$ y $b$. Eliminar $n$ constantes exige $n$ derivaciones, así que el resultado será una ecuación diferencial de segundo orden. Saberlo de antemano indica cuándo hay que dejar de derivar.

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   Derivar una vez respecto de $x$. Tratando $y$ como función de $x$ y aplicando la regla de la cadena a $y^2$:

   $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{a^2}=\frac{y\,y'}{b^2}$

   El $1$ del lado derecho de la ecuación original ya ha desaparecido: se dispone ahora de una relación entre $a^2$ y $b^2$.

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   Derivar por segunda vez. Derivando $\dfrac{x}{a^2}=\dfrac{y\,y'}{b^2}$ y aplicando la regla del producto a $y\,y'$:

   $\frac{1}{a^2}=\frac{(y')^2+y\,y''}{b^2}$

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   Dividir las dos relaciones para eliminar ambas constantes a la vez. Las dos ecuaciones tienen la forma (algo)$/a^2$ = (algo)$/b^2$, así que al dividir la primera entre la segunda se cancela el cociente $b^2/a^2$:

   $\frac{x/a^2}{1/a^2}=\frac{y\,y'/b^2}{\left((y')^2+y\,y''\right)/b^2}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y\,y'}{(y')^2+y\,y''}$

   Esa es la economía clave del método: una sola división elimina $a$ y $b$ juntas, en lugar de despejar cada una por separado.

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   Quitar el denominador para obtener la ecuación diferencial.

   $x\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+y\,\frac{d^2y}{dx^2}\right]=y\,\frac{dy}{dx}$

   o bien, con todo en un mismo miembro,

   $x\,y\,y''+x\,(y')^2-y\,y'=0$

   No aparece ni $a$ ni $b$, así que vale para cada miembro de la familia, que es exactamente lo que significa "la ecuación diferencial de la familia".

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   Verificar con un miembro concreto. Se toma $a=2$, $b=3$, de modo que $y=3\sqrt{x^2/4-1}$, y se evalúa en $x=3$: allí $y=3.354102$, $y'=2.012461$ y $y''=-0.536656$. Entonces

   $x\left[(y')^2+y\,y''\right]=3\left[4.050+(-1.800)\right]=6.750,\qquad y\,y'=3.354102\times 2.012461=6.750$

   Los dos miembros coinciden, y repitiendo la comprobación con otros $a,b$ se obtiene la misma igualdad, lo que confirma que las constantes se eliminaron de verdad.