Halla la suma de 1/n² para n desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirma la convergencia antes de buscar un valor. Se trata de una serie $p$, $\sum n^{-p}$, con $p=2$. El criterio de la integral la compara con $\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=1$, que es finita, así que la serie converge, a diferencia de la serie armónica $p=1$, que diverge. Preguntar por la suma solo tiene sentido una vez resuelto esto.

2. 2

   Acota la suma de forma burda para saber qué esperar. Como $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}$ para $n\ge 2$, y eso se telescopa a $1$, la cola posterior al primer término es menor que $1$:

   $1<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<2$

   Así que la respuesta está entre 1 y 2, una guarda útil frente a una forma cerrada equivocada.

3. 3

   Recuerda la idea de Euler: factorizar $\dfrac{\sin x}{x}$ mediante sus raíces. La función $\dfrac{\sin x}{x}$ vale $1$ en $x=0$ y se anula en $x=\pm k\pi$, lo que sugiere el producto infinito

   $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}\pi^{2}}\right)$

   Esto trata una función trascendente como si fuera un polinomio escrito a partir de sus raíces, el salto que hizo famoso el argumento.

4. 4

   Iguala los coeficientes de $x^{2}$. Al desarrollar el producto, el coeficiente de $x^{2}$ es $-\displaystyle\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}$. De la serie de Taylor $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^{2}}{6}+\cdots$, ese mismo coeficiente vale $-\dfrac16$. Igualando:

   $\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac16$

5. 5

   Despeja la suma.

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1.6449340668$

   Queda cómodamente dentro de las cotas del paso 2. Una suma parcial directa de dos millones de términos da $1.6449335668$, y los $5\times 10^{-7}$ que faltan son exactamente la cola $\approx 1/N$ ✓. En notación moderna esto es $\zeta(2)$.