Usar coordenadas esféricas para calcular la integral triple de x² + y² + z² sobre la bola unidad x² + y² + z² ≤ 1.

Step-by-step solution

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   Se observa que tanto el integrando como la región tienen simetría radial. El integrando $x^2+y^2+z^2$ y la frontera $x^2+y^2+z^2=1$ dependen únicamente de la distancia al origen. Esa es la señal definitiva para usar coordenadas esféricas: en forma cartesiana esta integral exige límites anidados con raíces cuadradas, mientras que en esféricas los límites son tres constantes.

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   Se plantea el cambio a esféricas, incluido el jacobiano. Con

   $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$

   el integrando se reduce a $x^2+y^2+z^2=\rho^2$, y el elemento de volumen arrastra el factor jacobiano

   $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   El $\rho^2\sin\phi$ no es un detalle contable opcional: es el factor local de dilatación de volumen del cambio de coordenadas, y omitirlo es la forma más habitual de estropear esta integral.

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   Se escriben los límites. La bola unidad se describe mediante

   $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\phi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le2\pi$

   Observa que $\phi$ (el ángulo polar, medido hacia abajo desde el eje $+z$) solo llega hasta $\pi$, mientras que $\theta$ (el ángulo azimutal) recorre los $2\pi$ completos. Intercambiar esos recorridos contaría la bola dos veces.

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   Se monta la integral y se separa. Combinando el integrando con el jacobiano queda $\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi=\rho^4\sin\phi$, así que

   $\iiint_B\left(x^2+y^2+z^2\right)dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{1}\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   Como el integrando se factoriza en (función de $\rho$) $\times$ (función de $\phi$) $\times$ (constante en $\theta$) y además los límites son constantes, la integral triple se descompone en un producto de tres integrales simples.

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   Se evalúan los tres factores.

   $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi=\big[-\cos\phi\big]_0^{\pi}=1+1=2,\qquad \int_0^{1}\rho^4\,d\rho=\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1=\frac15$

   Multiplicando:

   $(2\pi)(2)\left(\frac15\right)=\frac{4\pi}{5}\approx2.5133$

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   Se comprueba el orden de magnitud de la respuesta. La bola tiene volumen $\tfrac43\pi\approx4.19$ y el integrando $\rho^2$ va de $0$ en el centro a $1$ en la superficie, así que la integral debe estar estrictamente entre $0$ y $4.19$. El valor medio de $\rho^2$ sobre la bola es $\tfrac{4\pi/5}{4\pi/3}=\tfrac35$, razonablemente por encima de $\tfrac12$ porque la mayor parte del volumen de una bola está cerca de su capa exterior. Una estimación de Monte Carlo sobre el cubo que la contiene devuelve $\approx2.515$, lo que confirma $4\pi/5$.