Calcular la integral doble de sin x − cos y sobre el cuadrado 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π.

Step-by-step solution

1. 1

   Separar el integrando en dos piezas independientes. La integración es lineal y la región es un rectángulo de límites constantes, así que

   $\iint(\sin x-\cos y)\,dA=\iint \sin x\,dA-\iint\cos y\,dA.$

   Cada pieza depende de una sola variable, lo que convierte a ambas en productos de integrales de una dimensión.

2. 2

   Calcular la primera pieza. Como $\sin x$ no involucra a $y$, la integración en $y$ simplemente multiplica por la longitud $2\pi$:

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=2\pi\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(-1+1)=0.$

3. 3

   Calcular la segunda pieza del mismo modo.

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dy=2\pi\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(0-0)=0.$

4. 4

   Combinar.

   $\iint_{[0,2\pi]^{2}}(\sin x-\cos y)\,dA=0-0=0.$

5. 5

   Explicar por qué esto era inevitable. La longitud del lado, $2\pi$, es exactamente un periodo completo tanto del $\sin$ como del $\cos$, y toda sinusoide integra cero sobre un periodo entero: los lóbulos positivos y negativos tienen igual área. Cualquier intervalo de longitud $2\pi$ habría dado la misma respuesta; si los límites hubieran sido de $0$ a $\pi$, el término del seno habría aportado $2\pi\cdot 2=4\pi$ en su lugar.